Disequazioni di secondo grado fratte #
Una disequazione fratta è una disequazione che contiene una frazione con l’incognita sia al numeratore che al denominatore. Risolvere una disequazione fratta significa trovare i valori di \(x\) che rendono vera la disuguaglianza.
1. Forma generale #
Una disequazione fratta ha la forma:
$$ \frac{N(x)}{D(x)} \gtrless 0 $$dove \(N(x)\) è il numeratore e \(D(x)\) è il denominatore, entrambi polinomi.
📝 Regola fondamentale: Il denominatore non può mai essere uguale a zero! I valori che annullano il denominatore vanno esclusi dal dominio.
2. Metodo di risoluzione (passo per passo) #
Passo 1: Portare tutto a sinistra #
Trasforma la disequazione nella forma \(\frac{N(x)}{D(x)} \gtrless 0\) (con zero a destra).
Passo 2: Studiare il numeratore #
Risolvi \(N(x) = 0\) per trovare gli zeri del numeratore.
Passo 3: Studiare il denominatore #
Risolvi \(D(x) = 0\) per trovare i valori esclusi (dove la funzione non esiste).
Passo 4: Costruire la tabella dei segni #
- Scrivi gli zeri di numeratore e denominatore sulla retta reale, ordinati
- Studia il segno di \(N(x)\) e \(D(x)\) in ciascun intervallo
- Il segno della frazione è dato dalla regola dei segni: \(+/+ = +\), \(-/- = +\), \(+/- = -\), \(-/+ = -\)
Passo 5: Scegliere gli intervalli #
In base al verso della disequazione (\(> 0\), \(< 0\), \(\geq 0\), \(\leq 0\)), scegli gli intervalli dove la frazione ha il segno desiderato.
📝 Attenzione: Se la disequazione è \(\geq 0\) o \(\leq 0\), gli zeri del numeratore fanno parte della soluzione, ma gli zeri del denominatore sono sempre esclusi.
3. Esempio svolto #
Risolvere:
$$ \frac{x^2 - 4}{x - 1} > 0 $$Passo 1: È già nella forma giusta.
Passo 2: Numeratore: \(x^2 - 4 = 0 \implies x = -2\) oppure \(x = 2\)
Passo 3: Denominatore: \(x - 1 = 0 \implies x = 1\) (valore escluso!)
Passo 4: Tabella dei segni
| Intervallo | \(x < -2\) | \(-2 < x < 1\) | \(1 < x < 2\) | \(x > 2\) |
|---|---|---|---|---|
| \(N(x) = x^2-4\) | + | - | - | + |
| \(D(x) = x-1\) | - | - | + | + |
| Frazione | - | + | - | + |
Passo 5: Cerchiamo dove la frazione è \(> 0\):
$$ \boxed{-2 < x < 1 \quad \cup \quad x > 2} $$4. Secondo esempio svolto #
Risolvere:
$$ \frac{x + 3}{x^2 - 9} \leq 0 $$Passo 2: \(N(x) = x + 3 = 0 \implies x = -3\)
Passo 3: \(D(x) = x^2 - 9 = (x-3)(x+3) = 0 \implies x = -3, x = 3\) (entrambi esclusi!)
Nota: \(x = -3\) annulla sia il numeratore che il denominatore. Semplifichiamo:
$$ \frac{x + 3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x-3} \quad \text{con } x \neq -3 $$La disequazione diventa: \(\frac{1}{x-3} \leq 0\)
Il numeratore è sempre \(+\) (è 1). Il denominatore \(x - 3 < 0\) quando \(x < 3\).
$$ \boxed{x < 3, \quad x \neq -3} $$5. Regole da ricordare #
- Mai dividere per il denominatore senza studiarne il segno
- Gli zeri del denominatore sono sempre esclusi dalla soluzione
- Nella tabella dei segni, usa la regola dei segni delle frazioni
- Se numeratore e denominatore hanno fattori in comune, semplifica ma ricorda di escludere i valori che annullano il denominatore originale
Conclusione #
Le disequazioni fratte si risolvono con il metodo della tabella dei segni: si studiano separatamente numeratore e denominatore, si costruisce la tabella e si scelgono gli intervalli con il segno giusto. Con la pratica, diventa un procedimento automatico.
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