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Stefano Notes
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Derivata di un prodotto e derivata di un quoziente

·433 parole·3 minuti·
Stefano
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Stefano
Indice dei contenuti

Derivata di un prodotto e derivata di un quoziente
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Quando una funzione è il prodotto o il quoziente di due funzioni, non basta derivarle separatamente. Servono regole specifiche.

1. Derivata di un prodotto (Regola del prodotto)
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Se \(f(x) = g(x) \cdot h(x)\), la derivata è:

$$ \boxed{f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)} $$

📝 Trucco mnemonico: “Derivata della prima per la seconda + la prima per la derivata della seconda”. Abbreviato: D₁ · S₂ + S₁ · D₂

Esempio 1
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\(f(x) = x^2 \cdot \sin(x)\)

  • \(g(x) = x^2\) → \(g’(x) = 2x\)
  • \(h(x) = \sin(x)\) → \(h’(x) = \cos(x)\)
$$ f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) $$

Esempio 2
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\(f(x) = (3x + 1)(x^2 - 4)\)

  • \(g(x) = 3x + 1\) → \(g’(x) = 3\)
  • \(h(x) = x^2 - 4\) → \(h’(x) = 2x\)
$$ f'(x) = 3 \cdot (x^2 - 4) + (3x + 1) \cdot 2x = 3x^2 - 12 + 6x^2 + 2x = 9x^2 + 2x - 12 $$

2. Derivata di un quoziente (Regola del quoziente)
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Se \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\), la derivata è:

$$ \boxed{f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}} $$

📝 Trucco mnemonico: “Derivata del numeratore per il denominatore, meno il numeratore per la derivata del denominatore, tutto diviso il denominatore al quadrato”. Abbreviato: D(N)·D - N·D(D) / D²

Esempio 1
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\(f(x) = \frac{x^2}{x + 1}\)

  • \(N(x) = x^2\) → \(N’(x) = 2x\)
  • \(D(x) = x + 1\) → \(D’(x) = 1\)
$$ f'(x) = \frac{2x \cdot (x + 1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} $$

Esempio 2
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\(f(x) = \frac{2x - 3}{x^2 + 1}\)

  • \(N(x) = 2x - 3\) → \(N’(x) = 2\)
  • \(D(x) = x^2 + 1\) → \(D’(x) = 2x\)
$$ f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2 + 1) - (2x - 3) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 6x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 + 6x + 2}{(x^2+1)^2} $$

3. Confronto rapido
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Regola Formula Quando si usa
Prodotto \(f’ = g’ \cdot h + g \cdot h’\) \(f = g \cdot h\)
Quoziente \(f’ = \frac{g’ \cdot h - g \cdot h’}{h^2}\) \(f = \frac{g}{h}\)

4. Errori comuni
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  • ❌ Derivare numeratore e denominatore separatamente: \(\left(\frac{g}{h}\right)’ \neq \frac{g’}{h’}\)
  • ❌ Dimenticare il segno meno nella formula del quoziente
  • ❌ Dimenticare di elevare al quadrato il denominatore
  • ✅ Sempre usare le formule corrette!

Conclusione
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La regola del prodotto e la regola del quoziente sono fondamentali per derivare funzioni composte. Memorizza le formule e fai tanti esercizi: con la pratica diventeranno automatiche.