Derivata prima: crescenza, decrescenza, massimi e minimi #
La derivata prima \(f’(x)\) ci fornisce informazioni fondamentali sul comportamento della funzione: dove cresce, dove decresce e dove si trovano i massimi e i minimi.
1. Crescenza e decrescenza #
La regola è semplice:
- Se \(f’(x) > 0\) in un intervallo → la funzione cresce (sale)
- Se \(f’(x) < 0\) in un intervallo → la funzione decresce (scende)
- Se \(f’(x) = 0\) → la funzione ha un punto stazionario (è “ferma”)
📝 Spiegazione: Immagina la derivata come la pendenza di una collina. Se la pendenza è positiva, stai salendo. Se è negativa, stai scendendo. Se è zero, sei in cima o in fondo alla collina.
2. Punti stazionari #
I punti stazionari (o critici) sono i valori di \(x\) dove \(f’(x) = 0\). In questi punti la funzione può avere:
- Un massimo relativo: la funzione cresce prima e decresce dopo
- Un minimo relativo: la funzione decresce prima e cresce dopo
- Un punto di flesso a tangente orizzontale: la funzione non cambia verso
3. Come trovare massimi e minimi #
Procedimento #
- Calcola la derivata prima \(f’(x)\)
- Risolvi \(f’(x) = 0\) per trovare i punti stazionari
- Studia il segno di \(f’(x)\) negli intervalli definiti dai punti stazionari
- Determina la natura dei punti:
| Segno di \(f’(x)\) prima | Segno di \(f’(x)\) dopo | Tipo di punto |
|---|---|---|
| \(+\) (cresce) | \(-\) (decresce) | Massimo relativo |
| \(-\) (decresce) | \(+\) (cresce) | Minimo relativo |
| \(+\) → \(+\) o \(-\) → \(-\) | Flesso (non è max/min) |
4. Esempio svolto #
Studiare crescenza, decrescenza e punti stazionari di \(f(x) = x^3 - 3x\)
Passo 1: \(f’(x) = 3x^2 - 3\)
Passo 2: \(f’(x) = 0 \implies 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1, x = 1\)
Passo 3: Studio del segno di \(f’(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)\)
| Intervallo | \(x < -1\) | \(-1 < x < 1\) | \(x > 1\) |
|---|---|---|---|
| \(f’(x)\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | Crescente ↗ | Decrescente ↘ | Crescente ↗ |
Passo 4:
- \(x = -1\): \(f’\) passa da \(+\) a \(-\) → Massimo relativo in \((-1, f(-1)) = (-1, 2)\)
- \(x = 1\): \(f’\) passa da \(-\) a \(+\) → Minimo relativo in \((1, f(1)) = (1, -2)\)
5. Riepilogo visivo #
____ Massimo (f' = 0, poi -)
/ \
/ \
/ f'>0 \ f'<0
\____ Minimo (f' = 0, poi +)
\
/ f'>0Conclusione #
La derivata prima è uno strumento potentissimo: basta studiare il suo segno per capire dove la funzione cresce, dove decresce e dove si trovano i massimi e i minimi. È un passo fondamentale nello studio completo di una funzione.
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