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Il campionamento di un segnale analogico periodico è il processo di estrazione di una sequenza di valori discreti da un segnale continuo, prelevandone l’ampiezza in istanti temporali ben definiti, ma anche periodici, ovvero a intervalli regolari fissati da una frequenza di campionamento.
Il campionamento è l’operazione con cui trasformiamo un segnale analogico continuo (cioè definito in ogni istante di tempo) in una sequenza di valori discreti presi a intervalli di tempo regolari. In pratica: prendiamo “fotografie” del segnale a intervalli DELTA T.
Il periodo di campionamento è l’intervallo di tempo che intercorre tra l’acquisizione di un campione e l’acquisizione del successivo, durante il processo di conversione di un segnale continuo nel tempo in un segnale discreto.
Il periodo di campionamento è l’intervallo di tempo tra due campioni consecutivi di un segnale (si misura in secondi (s)).
$$ T_s = \frac{1}{fs} $$
La frequenza di campionamento indica quante volte al secondo viene catturato un “campione” di un segnale analogico (come il suono) per essere convertito in digitale.
$$ f_s = \frac{1}{T_s} $$La frequenza di campionamento è il numero di campioni che vengono presi in un secondo.
Teorema di Shannon-Nyquist Il teorema di Nyquist-Shannon stabilisce che un segnale analogico a banda limitata (cioè con frequenza massima Fmax) può essere ricostruito perfettamente a partire dai suoi campioni se la frequenza di campionamento (Fc) è almeno il doppio della frequenza massima del segnale stess (Fc≥ 2Fmax).
$$ f_s \geqslant 2 \cdot f_{max} $$Il teorema di Shannon-Nyquist stabilisce che un segnale analogico con una frequenza massima (frequenza di Nyquist) può essere ricostruito esattamente se viene campionato a una frequenza almeno doppia di tale frequenza massima.
Soluzioni esercizi fatti in classe:
Esercizio 1 Un segnale analogico sinusoidale periodico presenta un periodo T = T_max = 16 [s]. Utilizzando il teorema di Shannon, calcolare il periodo di campionamento T_c del segnale.
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Calcola la frequenza massima del segnale (qui il segnale è una sinusoide fondamentale):
$$ f_{max} = \frac{1}{T} = \frac{1}{16} = 0,0625 Hz $$ -
Shannon: la frequenza di campionamento minima è f_s >=2 f_max. Quindi il valore minimo (caso limite) è:
$$ f^{min}_s = 2 \cdot f_{max} = 2 \cdot 0,0625 = 0,125 Hz $$ -
Il periodo di campionamento massimo corrispondente è l’inverso di f^{min}_s :
$$ T^{max}_c = \frac{1}{f^{min}_s} = \frac{1}{0,125} = 8 s $$
Risposta: T_c = 8 s (massimo periodo ammesso per non violare Shannon).
Esercizio 2 Sapendo che la minima frequenza di campionamento f_c, ricavata tramite il teorema di Shannon, è uguale a 10 [Hz], calcolare il periodo T del segnale analogico periodico di partenza.
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Se f_c è la minima frequenza di campionamento, allora f_c = 2f_max. Quindi:
$$ f_{max} = \frac{f_c}{2} = \frac{10}{2} = 5 Hz $$ -
Il periodo del segnale è l’inverso di f_max:
$$ T = \frac{1}{f_{max}} = \frac{1}{5} = 0,2 s $$
Risposta: T = 0,2 s
Esercizio 3: Sapendo che la frequenza massima del segnale da campionare è f_{max} = 24 [Hz], calcolare il corrispondente massimo periodo di campionamento Tc.
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Frequenza di campionamento minima secondo Shannon:
$$ f^{min}_s = 2 \cdot f_{max} = 2 \cdot 24 = 48 Hz $$ -
Periodo di campionamento massimo:
$$ T^{max}_c = \frac{1}{f^{min}_s} = \frac{1}{48} s = 0,0208333 s \approx 0,02083 s $$In millisecondi: 0,02083 s = 20,83 ms