Calcolo derivate #
La derivata di una funzione misura la velocità di variazione della funzione in un punto. Geometricamente, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione.
1. Definizione #
La derivata di \(f(x)\) nel punto \(x\) è:
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$📝 Spiegazione: La derivata ti dice “quanto velocemente sta cambiando la funzione”. Se stai guidando un’auto, la funzione è la posizione e la derivata è la velocità. Se la derivata è grande, la funzione cambia rapidamente; se è zero, la funzione non sta cambiando (è ferma).
2. Derivate fondamentali #
| Funzione \(f(x)\) | Derivata \(f’(x)\) |
|---|---|
| \(c\) (costante) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n \cdot x^{n-1}\) |
| \(\sqrt{x} = x^{1/2}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| \(\frac{1}{x} = x^{-1}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\ln(x)\) | \(\frac{1}{x}\) |
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) |
| \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
3. Regole di derivazione #
Costante per una funzione #
$$ [c \cdot f(x)]' = c \cdot f'(x) $$Una costante moltiplicativa “esce fuori” dalla derivata.
Somma e differenza #
$$ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $$La derivata della somma è la somma delle derivate.
Esempi #
Esempio 1: \(f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 5x + 7\)
$$ f'(x) = 3 \cdot 4x^3 + 2 \cdot 2x - 5 + 0 = 12x^3 + 4x - 5 $$Esempio 2: \(f(x) = \frac{2}{x} + 3\sqrt{x}\)
Riscriviamo: \(f(x) = 2x^{-1} + 3x^{1/2}\)
$$ f'(x) = 2 \cdot (-1) \cdot x^{-2} + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2} = -\frac{2}{x^2} + \frac{3}{2\sqrt{x}} $$4. Schema rapido per il calcolo #
Per derivare un polinomio:
- Moltiplica il coefficiente per l’esponente
- Abbassa l’esponente di 1
- Le costanti diventano 0
📝 Trucco mnemonico: “Porto giù l’esponente e lo diminuisco di uno”. Per \(x^5\): porto giù il 5, diminuisco → \(5x^4\).
Conclusione #
Le regole di derivazione sono poche e semplici. La chiave è memorizzare le derivate fondamentali e applicare le regole meccanicamente. Con la pratica, derivare diventa automatico come fare una somma.
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